GAMS教程 6：绝对值约束与MinMax目标变量

本节我们不讲新的优化模型，相反，这节我们讲讲GAMS如何处理优化问题中两个常见的问题。

1. 绝对值约束

我们前面介绍了线性模型和时序模型，虽然时序模型并不仅限于线性模型，时序模型的约束完全可以是二次的、三次的。但是考虑到我们只讲了线性模型，所以为了方便理解时序模型，我们才使用的现行约束。

事实上，我们的优化问题中经常会出现一类约束，这类约束就是绝对值约束。我们下面就将讲解如何使用GAMS来处理绝对值约束。

A. 绝对值约束的定义

绝对值约束是指形如下面的约束

$$|f(x)|\leq b$$

其中：

• $f(x)$不一定是线性的。但是为了便于理解，我们还是线性为例。
• $|f(x)|$不是线性约束。

为了方便简介，后面我们设

$$f(x) = a^Tx$$

B. GAMS中处理绝对值约束

对于绝对值，有

$$|a^Tx| \leq b \Leftrightarrow \max\{a^Tx, -a^Tx\}$$

因此为了在GAMS中为了处理绝对值，我们可以进行如下的变换

$$|a^Tx|\leq b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{**lr**} a^Tx &\leq&b\\ -a^Tx &\leq&b \end{array} \right.$$

2. MinMax目标变量

和上面的绝对值约束一样，为了便于讲解如何利用GAMS解决MinMax目标变量问题，我们下面还是以线性模型为例。

A. MinMax目标变量的含义

所谓MinMax目标变量指的是我们在很多优化问题中，遇到一类优化问题的目标变量是混合了min和max的目标变量，即

$$\max p\\ p=f(x)=\min a^Tx$$

或

$$\min p\\ p=f(x)=\max a^Tx$$

B. GAMS处理MinMax目标变量

GAMS中处理MinMax目标变量的方法和处理绝对值约束的思路其实差不多，都是进行等价变换，将其转换为额外的约束。

处理MinMax目标变量最核心的，就是下面的等价变换

$$\begin{aligned} z&=&\min a^Tx &\Leftrightarrow& z&\leq& \min a^Tx &\Leftrightarrow& z&\leq& a^Tx\\ z&=&\max a^Tx &\Leftrightarrow& z&\geq& \max a^Tx &\Leftrightarrow& z&\geq& a^Tx \end{aligned}$$

因此，在处理MinMax目标变量的时候，我们可以使用上面的等价变换先把内层的变换换掉，即

$$\max z=\max (\min a^Tx)\\ \Updownarrow\\ \max p,\ p \leq a^Tx$$

即通过添加

$$p\leq a^Tx$$

这个约束来把内层的循环消掉

同理，如果是外层max内层max的话，那么我们进行如下的变换

$$\max z=\min (\max a^Tx)\\ \Updownarrow\\ \min p,\ p \geq a^Tx$$

即通过添加

$$p \geq a^Tx$$

这个约束来消除内层循环