数学建模算法9-相关性分析

相关性，是指两个变量的关联程度。一般地，从散点图上可以观察到两个变量有以下三种关系之一：两变量正相关、负相关、不相关。

两个变量间的关系

而相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。

之所以要进行相关性分析，是因为在数学建模中经常会遇到一类题目，会评价两个指标（变量）之间的关系/联系。因此，本文就将介绍相关性分析的相关知识。

1. 变量间的相关性

在统计学上，我们通常这样判断变量之间是否有关：

在变量相关的基础上，我们又会有两个变量的相关程度到底如何，即一个变量变化多少另外一个变量对应的会变化多少？

因此我们定义变量关系强度，即两个变量相关程度的高低。统计学中是以准实验的思想来分析变量相关的。通常从以下的角度分析：

根据变量的类型，现实中的变量可以分为下面四种：

定类变量：根据定性的原则区分总体各个案类别的变量，变量间没有大小关系。例如：性别，民族、婚姻状况
定序变量：区别同一类别个案中等级次序的变量，变量间具有大小关系，但是没有数值关系。例如：文化程度、工厂规模、年龄大小
定距变量：区别同一类别个案中等级次序及其距离的变量，变量间具有大小关系且具有数值关系（可以用数值描述的变量），例如：摄氏温度、比率、智力水平。此外，定距变量是没有零点的，零只是其中的一个值。而且，加减得到的差值有意义而乘除后的值没有意义。
定比变量：也是区别同一类别个案中等级次序及其距离的变量，除了具有定距变量的特点外，还具有零点，即零点相比于其他值有意义，例如：收入、价格、市场占有率

适用于定距、定比类型的变量。是运用最广的一种相关程度统计量。例如可以用皮尔逊系数分析收入和商品价格的相关性。

皮尔逊系数$r$的计算如下：

$r= \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2}}$

Pearson系数的相关性检验用$t$检验，其统计量$t$服从自由度($n-2$)的分布，其中n表示数据的维度

$t= \frac{r}{1-\frac{r^2}{n-2}}$

之所以需要对皮尔逊系数进行检验，原因在于我们对一个变量的值的采集是通过有限次的观测。因此就会存在偶然性的问题，所以需要进行相关性检验

若计算得到$t\ge t_{a/2}$或$p\ge a$，则认为$r$统计显著。例如变量十六个维度（$n-2=14$），且$a$取0.05，若计算得到$t\ge2.145$，则有95%的概率认为两个变量相关这一结果不是偶然造成的，或者说有95%的把握认为两个变量相关。
若计算得到$t\leq t_{a/2}$或$p\leq a$，则认为$r$统计不显著，即非常有可能是偶然因素造成的

t检验的表

对于皮尔逊系数而言，其越接近一，表示计算该皮尔逊系数的两个变量之间相关性越高

皮尔逊系数与相关程度

Spearman系数是用于计算度量定序变量与定序变量之间的相关系数。

斯皮尔曼系数计算如下

$r_s=1-\frac{6\sum(x_i-y_i)^2}{n(n^2-1)}$

其中，$x_i$，$y_i$是两个变量按照大小排序的等级，$n$为样本容量。在$n\ge 20$之后，可以用$t$统计量进行检验。

$t=r_s\sqrt {\frac{n-2}{1-r_s^2}}$

同样，

若计算得到$t\ge t_{a/2}$或$p\ge a$，则认为$r$统计显著。例如变量十六个维度（$n-2=14$），且$a$取0.05，若计算得到$t\ge2.145$，则有95%的概率认为两个变量相关这一结果不是偶然造成的，或者说有95%的把握认为两个变量相关。
若计算得到$t\leq t_{a/2}$或$p\leq a$，则认为$r$统计不显著，即非常有可能是偶然因素造成的